माना f(x) = begin{cases} x^p sin left( frac{1 | vedclass

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Question

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x < 0$ के लिए $g(x) = -x^4$ है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर $3$ बार अवकलनीय है और $g''(0

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$(4, \infty)$

Vedclass · Answer

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x अब $h(x) = x^p \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ ($x 
eq 0$ के लिए) और $h(0) = 0$ पर विचार करें।$h'(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h^p \sin(1/h)}{h} = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 1$ आवश्यक है। तब $h'(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h'(x) = p x^{p-1} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-2} \cos \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h'(h) - h'(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \left( p h^{p-2} \sin \left( \frac{1}{h} ight) - h^{p-3} \cos \left( \frac{1}{h} ight) ight) = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 3$ आवश्यक है। तब $h''(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h''(x) = p(p-1) x^{p-2} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - 2(p-1) x^{p-3} \cos \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-4} \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} h''(x) = h''(0) = 0$ होना चाहिए। इसके लिए सभी पदों में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,विशेष रूप से $p-4 > 0$,अतः $p > 4$।

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$a$ और $b$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए ताकि फलन $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{यदि } x \le 3 \\ bx + 3, & \text{यदि } x > 3 \end{cases}$ बिंदु $x = 3$ पर सतत हो।

यदि $f(x) = \operatorname{sgn}((x^2 - kx + 6)(\sin x - 1/2))$ (जहाँ $k > 0$) के $(0, 6)$ में ठीक $4$ असंतत बिंदु हैं,तो $k$ का अधिकतम पूर्णांक मान क्या है?

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत होता है।

मान लीजिए $f: R \to R$ एक फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} 5, & x \le 1 \\ a + bx, & 1 < x < 3 \\ b + 5x, & 3 \le x < 5 \\ 30, & x \ge 5 \end{cases}$
तो $f$ है:

माना $f(x) = \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }, x \ne \frac{\pi }{4}, x \in [0, \frac{\pi }{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi }{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi }{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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